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对偶锥与广义不等式

在了解了锥后,我们对锥做更进一步的讨论。

正常锥

正常锥(proper cone)

一个锥\(K \subseteq \mathbb{R}^n\)被称作一个正常锥,当:

  • \(K\)是凸集
  • \(K\)闭合:包括他的边界
  • \(K\)是实锥(solid):包括非空内部(interior)
  • \(K\)是尖锥(pointed):不包括线(line)
正定锥是一个正常锥吗

是的

正常锥

  • 非负象限
\[K = \mathbb{R}^n_+\]
  • 半正定锥
\[K = \mathbb{S}^n_+\]
  • \([0, 1]\)上的非负多项式
\[K = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \sum_{i=1}^n x_nt^{n-1} \text{for} t \in [0, 1\}\]
正常锥的对偶锥的对偶锥是他本身吗

是的

广义不等式

广义不等式(generalised inequality)

一个由正常锥\(K\)定义的广义不等式满足:

\[x \preceq_K y \quad \Longleftrightarrow \quad y - k \in K\]
\[x \prec_K y \quad \Longleftrightarrow \quad y - k \in int(K)\]

广义不等式是非线性的

我们可以有\(x \preceq_K y\)\(y \preceq_K x\)同时成立

但是其他属性都很相似,如\(x \preceq_K y, u \preceq_K v \quad \Rightarrow x + u \preceq_K y + v\)

广义不等式

  • 分量不等式(\(K = \mathbb{R}^n_+\)
\[x \preceq_{\mathbb{R}^n_+} y \quad \Longleftrightarrow \quad \forall i, x_i \leq y_i\]
  • 矩阵不等式(\(K = \mathbb{S}^n_+\)
\[X \preceq_{\mathbb{S}^n_+} Y \quad \Longleftrightarrow \quad Y - X \text{半正定}\]

对偶锥

对偶锥

一个锥\(K\)的对偶锥是

\[K^\star = \{y \mid \forall x \in K, y^Tx \geq 0\}\]

对偶锥

  • \(K = \mathbb{R}^n_+\): \(K^\star = \mathbb{R}^n_+\)
  • \(K = \mathbb{S}^n_+\): \(K^\star = \mathbb{S}^n_+\)
  • \(K = \{(x, t) \mid \Vert x \Vert_2 \leq t\}\): \(K^\star = \{(x, t) \mid \Vert x \Vert_2 \leq t\}\)
  • \(K = \{(x, t) \mid \Vert x \Vert_1 \leq t\}\): \(K^\star = \{(x, t) \mid \Vert x \Vert_\inf \leq t\}\)

其中,前三个锥的对偶锥与其本身一致,我们将其称为自对偶锥(self-dual cone)。

对偶正常锥

正常锥的对偶锥也正常,因此可以定义广义不等式:

\[y \preceq_{K^\star} 0, \quad \Longleftrightarrow \quad \forall x \succeq_K 0, y^Tx \geq 0\]

对偶不等的最小与极小

对偶不等的最小

\(x\)是集合\(S\)的最小元,当且仅当对于所有\(\lambda \succ_{K^\star} 0\)\(x\)唯一最小化\(S\)\(\lambda^Tz\)

\[\forall y \in S, \ x \preceq_K y\]

对偶不等的极小

  • 对于某些\(\lambda \succ_{K^\star} 0\),如果\(x\)最小化\(S\)上的\(\lambda^Tz\),那么\(x\)是集合\(S\)的一个极小元。

  • 如果\(x\)是集合\(S\)的极小元,那么存在一个不为零的\(\lambda \succ_{K^\star} 0\)使得\(x\)最小化\(S\)\(\lambda^Tz\)

\[\forall y \in S, \ y \preceq_K x \Rightarrow y = x\]

\(-\lambda\)定义了支持超平面。

一个集合必定有最小元吗

不是


最后更新: 2022-04-21 15:35:43
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